連分數(英文:Continued fraction),係一類好特別嘅分數。佢喺數論同數學分析呢兩個數學分支入面都有好重要嘅角色。
一個連分數個樣係咁嘅
但係因為呢個樣太麻煩,所以一般會將佢轉成
嚟表達。
佢喺數學上可以做出好正嘅近似值。例如黃金比例
,正正就係連分數
而將佢截斷,例如
就係
用連分數嚟表達
,就可以寫成
≈ ![{\displaystyle [3;7,15,1,292]=3+{\frac {1}{7+{\frac {1}{15+{\frac {1}{1+{\frac {1}{292}}}}}}}}={\frac {103993}{33102}}=3.1415926530119026407\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e22534063d41fbb8ec38ebab59da0e722c0de2c8)
有限連分數及簡單連分數[編輯]
連分數可以再分出有限連分數(Finite Continued Fraction),之後可以再分出簡單連分數(Simple Continued Fraction)呢兩類。
有限連分數[編輯]
一個有限嘅連分數係可以用有限咁多嘅數字表達出嚟。
即係
對應所有嘅
,
都係實數同埋
。
簡單連分數[編輯]
簡單連分數就係
入面每一個
都係整數。
連分數轉換法[編輯]
如果
,將
寫成
,
同
。
一般會叫
做基層(Floor),有時會將
寫成
。
如果
,將
寫成
,
同
。
咁
同埋
。
將佢繼續咁寫落去得出:
如果
,將
寫成
,
同
。
咁
同埋
。
例子:
![{\displaystyle {\frac {5}{3}}={\frac {3+2}{3}}=1+{\frac {2}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7708a0f7dea150d162e5a46d6bd1a85ef34d08c2)
![{\displaystyle {\frac {1}{\frac {2}{3}}}={\frac {3}{2}}={\frac {2+1}{2}}=1+{\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e1c0bc65eca4d9bde63c1c032c7f531b09fb583)
![{\displaystyle {\frac {1}{\frac {1}{2}}}={\frac {2}{1}}=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e00ed4fe8f3c5efcdc7e9d6695f96e01cf8ddbd6)
所以
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