最細公倍數(Least Common Multiple,簡寫L.C.M.),又叫最小公倍數,係兩個或以上嘅整數入面嘅最細嗰個倍數。譬如12同10嘅最細公倍數就係60。數學會用
嚟表示a同b呢兩個數字嘅最細公倍數。
假設有兩個整數
。最細公倍數
係一個正整數符合以下條件:
同埋
。
- 如果有另一個整數
係符合
同埋
,咁
必須符合
。
最細公倍數公式[編輯]
求兩個整數
嘅最細公倍數,可以利用以下公式:
![{\displaystyle lcm(a,b)={\frac {a\times b}{gcd(a,b)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ef525138a40de9e45ed75c5ce06659d89f53e56)
證明:
假設
。根據GCD嘅定義,
同埋
,
係某啲整數。
將上面兩條式乘埋,得出
![{\displaystyle {\begin{aligned}ab&=(md)(dn)\\mnd&={\frac {ab}{d}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98e3e0880f0fcd69bc6bfefdb1abe435e3cbc753)
而家將
![{\displaystyle l={\frac {ab}{d}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/837766bc633c4bcb0d2693b18c56c1277e848be0)
,咁
![{\displaystyle l=an=bm}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fc877c6a9abf95c962e2427c09a3cb0ab65658c)
。即係
![{\displaystyle l}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac)
又係
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
嘅倍數,又係
![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
嘅倍數,咁
![{\displaystyle l}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac)
就係一個公倍數。
假設
係
同
是但一個公倍數。咁樣
,
同
係某啲整數。
同時
同
都有GCD,咁就可以用比舒公式,得出
,
同
係某啲整數。
而家要計算
除
,如果除得盡嘅話,
就係最細公倍數。
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {l'}{l}}&={\frac {l'}{\frac {ab}{d}}}\\&={\frac {l'd}{ab}}\\&={\frac {l'(ax+by)}{ab}}\\&={\frac {l'ax}{ab}}+{\frac {l'by}{ab}}\\&={\frac {l'}{b}}x+{\frac {l'}{a}}y\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4a5e5867f2c741b8e63eda400a5c02027ce031a)
因為
![{\displaystyle l'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efb2e54e32519bf534e146b9140c25b67e558d56)
係其中一個公倍數,所以一定可以被
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
同
![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
除得盡。
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {l'}{l}}&=gx+fy\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f6262d7b35d96700a97675c90ea415326f71bfc)
因此
![{\displaystyle l|l'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ac417e312c8f2b5845ba2df447061c0e2c5134e)
,所以
![{\displaystyle l\leq l'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff4549427d94c0f4b2662a6514b8a550559ad83c)
。所以
![{\displaystyle l}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac)
係最細公倍數。
如果要搵12345同246810既LCM。
利用輾轉相除法,得知
。
所以,
。
假設有兩個整數
,佢哋係相對質數,咁佢哋嘅最細公倍數就係
。
證明:
利用最細公倍數公式得知,
。
因為
同
嘅GCD係1,所以
。
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