統計力學入面,吉布士熵(英文:Gibbs entropy)係平衡態下體系熵嘅一條通用表達式。如果體系有
個能級,佔第
個能級嘅機率係
,噉體系嘅熵就係
![{\displaystyle S=-k_{\text{B}}\,\sum _{i=1}^{n}p_{i}\ln \,p_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00ed421bbe4e53b01534229adbde4983dee1b7ff)
其中
係波茲曼常數,爾條式叫做吉布士熵公式。
可以用系綜嘅方法來推出吉布士熵公式。
考慮由
個同我哋考察嘅體系相同嘅體系組成嘅系綜。達到平衡態嗰時,最有可能出現嘅情況係,有
個體系處於第
個能級。
爾種情況出現嘅可能性遠遠大過其它可能性,根據摘取最大項原理,喺波茲曼熵公式
入面計算
嘅時候可以衹考慮爾一項嘅貢獻,根據組合數學,有:
![{\displaystyle W\approx {\frac {N!}{\prod _{i=1}^{n}N_{i}!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d20d3c1a92616aff32d448a366ba47392a46198f)
用斯特靈公式
![{\displaystyle \ln(n!)=n\ln(n)-n+O(\ln n),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8201697f0ad2afd800aa59c33fe7a7a0ab223d2)
有:
![{\displaystyle \ln W=N\ln N-\sum _{i=1}^{n}N_{i}\ln N_{i}+O(\ln N)=O(\ln N)+\sum _{i=1}^{n}N_{i}(\ln N-\ln N_{i})=O(\ln N)-N\sum _{i=1}^{n}p_{i}\ln p_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0397073586e5dc56778444f6e9e5f84d3ba4123a)
於是成個系綜嘅熵就係:
![{\displaystyle S_{N}=k_{\text{B}}\ln W=k_{\text{B}}\left[O(\ln N)-N\sum _{i=1}^{n}p_{i}\ln p_{i}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23d317db88fb20a1da0a949d65593fd79a107167)
因為熵係廣延量,而且組成系綜嘅各個體系相同,所以單個體系嘅熵就係:
![{\displaystyle S={\frac {k_{\text{B}}}{N}}\left[O(\ln N)-N\sum _{i=1}^{n}p_{i}\ln p_{i}\right]=-k_{\text{B}}\,\sum _{i=1}^{n}p_{i}\ln \,p_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4a0c460228b947528f6dafc88888cf4d6b086d8)
爾個就係吉布士熵公式。